Кстати, вот так выглядят клещи, поражающие муравьев.
На данном фото клещи на погибшей матке Myrmica rubra.

Понижение влажности до 5-10% в течение 1-2 дней будет смертельно почти для любого клеща. Это единственный реальный способ бороться с ними. Только провести эту процедуру надо дважды, с интервалом в 5-10 дней, т.к. яйца клещей наверняка переживут засуху.

Можно попробовать просушить формикарий, но при этом положить на арене поилку (пробирку с водой, заткнутую ватой). Вроде как муравьи умеют увлажнять то, что им надо водой из поилки...
Насчет пчеловодческих средств не знаю, никогда с ними не сталкивался. А что касается просушивания, возможно, будет достаточно и не таких жестких мер. Из точных цифр я могу сказать такую вещь: для борьбы с амбарными клещами в запасах зерна используют просушивание до 13%. При такой влажности воздуха они дохнут с гарантией (без всяких других мер). Для паразитических клещей, живущих на муравьях, эта цифра может варьировать как в одну, так и в другую сторону. Важно одно: ЛЮБЫЕ клещи плохо переносят засуху.
Кстати, не обязательно доводить условия до критических. Даже не сильное уменьшение влажности скажется на плодовитости клеща, а при незначительной зараженности муравьи справятся с ними своими силами.

Я тоже столкнулся с клещами: они довольно крупные(разм. около 1/10 брюшка рабочего "Умбратус", цвета бордового, с острым носиком, причём часто держатся симметрично относительно центра тяжести "носителя" (такая тварь безмозглая вроде, а закон физики учитывает!). Заметил их, когда разрабатывал способ подсадки самки "умбратус" к рабочим - они очень агрессивны, и я в лупу контролировал, не погрызут ли очередную самку, и увидел этих клещей - оказывается на имеющихся рабочих их полно. И случайно заметил, что если муравьёв отсадить на хранение в холодильник или на балкон(+5...+10) - то клещи отваливаются с муравьёв и прилипают к влажным стенкам стакана и обратно на муравьёв целые сутки не могут перейти даже в тепле! Сразу так я очистил штук 50...100, но у меня-то мур. порядка 10тыс. или больше - не пропущу же я их всех через этот "санпропускник"...

Да в общем то не проблема - единственное нужно найти (или сделать) машину времени и вернуться в 2009 год и перефоткать эту муху лучшем качестве..

Пчеловоды-профи для борьбы с "варроа" воздействуют на улей снизу парами...муравьиной кислоты! Допускаю, что варроа осыпается на газете (и-в огонь!), но для муравьиного клеща, сами понимаете, действие мур/кислоты так же нелепо, как лечить алкоголизм дозами спирта!
А подсушивание для умбратуса - проверил, они сами очень влаголюбивы, при малейшем пересушивании погибают быстро, но клещи продолжают цепляться! Впрочем, если в день пропустить через холодильник 200шт. - то 2000 за 10 дней...не так уж трудоёмко - только в толк ли труды, может на них(или на многочисленном расплоде) остались микроскопические яйца или молодь("нимфы") клеща?